强 Castelnuovo 引理的一个推广

我们考虑代数闭域 $k$ 上的 $n$ 维射影空间中一组互异点构成的集合 $X$。设 $A$ 为 $X$ 的坐标环，并设 $a_i(X)=\dim_k [{\rm Tor}_i^R(A,k)]_{i+1}$。Green 的强 Castelnuovo 引理 (SCL) 表明，如果这些点处于一般位置，则 $a_{n-1}(X)\neq 0$ 当且仅当这些点位于一条有理正规曲线上。Cavaliere、Rossi 和 Valla 猜想，如果这些点不一定处于一般位置，SCL 的可能推广应如下所示：$a_{n-1}(X)\neq 0$ 当且仅当这些点要么位于一条有理正规曲线上，要么位于两个维度之和为 $n$ 的线性子空间的并集中。在本工作中，我们证明了该猜想。