从 Krylov 观点看偏微分方程的推广

我们基于子方程与 Dirichlet 对偶的概念引入并研究了形如 $f(D^2 u)=0$ 的“广义方程”的概念。确切地说，子集 ${{\mathbb H}}\subset {\rm Sym}^2({\mathbb R}^n)$ 是一个广义方程，如果它是交集 ${{\mathbb H}} = {{\mathbb E}}\cap (-\widetilde{{{\mathbb G}}})$，其中 ${{\mathbb E}}$ 和 ${{\mathbb G}}$ 是子方程且 $\widetilde{{{\mathbb G}}}$ 是对偶于 ${{\mathbb G}}$ 的子方程。我们对 ${{\mathbb H}}$ 的解采用粘性定义。${{\mathbb H}}$ 的镜像定义为 ${{\mathbb H}}^* \equiv {{\mathbb G}}\cap (-\widetilde {{\mathbb E}})$。此处的主要结果之一涉及对任意有界域 $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ 上具预设边界函数 $\varphi \in C(\partial \Omega)$ 的 ${{\mathbb H}}$ 解的 Dirichlet 问题。我们证明：(A) 唯一性成立 $\iff$ ${{\mathbb H}}$ 无内部，且 (B) 存在性成立 $\iff$ ${{\mathbb H}}^*$ 无内部。对于 (B) 必须假设 $\partial \Omega$ 适当的边界凸性。我们讨论了许多广义方程的例子，包括约束拉普拉斯方程、扭曲蒙日-安培方程以及 $C^{1,1}$-方程。能够写为广义方程的闭集 ${{\mathbb H}}$ 被内在地刻画。对于这样的 ${{\mathbb H}}$，满足 ${{\mathbb H}} = {{\mathbb E}}\cap (-\widetilde{{{\mathbb G}}})$ 的子方程对集合是偏序的，并且存在一个包含于所有其他对中的典范最小元。典范方程的调和函数对所有给出 ${{\mathbb H}}$ 的其他方程都是调和的。我们还建立了在任意流形上成立的主定理的一般形式。