RCD$(0,N)$-空间中 Gr"unbaum 不等式的广义

我们将 Gr"unbaum 的经典不等式在凸几何中推广到非负 Ricci 曲率的曲面空间，具体为 $\mathrm{RCD}(0,N)$-空间，其中 $N \in (1,\infty)$，以及 $\mathrm{Ric}_N \ge 0$ 的加权黎曼流形，其中 $N \in (-\infty,-1) \cup \{\infty\}$。我们的表述利用了等距分割定理；给定凸集 $\Omega$ 和与任意直线关联的 Busemann 函数，包含 $\Omega$ 的 barycenter 的任意子水平集与 $\Omega$ 的交集体积由 $N$ 给出下界。我们还将此不等式扩展到凸集上的非均匀分布。此外，我们通过局部分析方法建立了一些刚性结果，同时也研究了稳定性问题。