高斯与凸概率测度的Gröbner不等式

凸几何中的一个著名结果是 Gröbner 不等式，它量化了通过其重心 passing through 的超平面可切割的凸体的体积。在本工作中，我们在特定凹性假设下，对概率测度建立一系列尖锐的 Gröbner 类型不等式——并给出等号情况的判别。作为应用，我们采用著名的 Ehrhard 不等式，推导出高斯测度在 $\mathbb{R}^n$ 上的 ``Ehrhard-Gröbner'' 不等式，这改进了其对数凹性导出的界限。对于 $s$-concave Radon 测度，我们的框架提供了已知结果的简洁证明，更重要的是，得出了此前缺失的等号判别。这一成果通过对其 Brunn-Minkowski 类型不等式等号情况的新见解实现。此外，我们表明，这些 ``$s$-Gröbner'' 不等式仅当 $s > -1$ 时才可能成立。然而，对于实线上的凸测度，我们证明了涉及其累积分布函数的 Gröbner 类型不等式。