Monge-Ampère 方程的广义比较原理与二维流体流动中的压力

我们将 Rauch & Taylor (Rocky Mountain J. Math. 7, 1977) 提出的 Monge-Ampère 方程的广义比较原理推广至非凸区域。基于该广义比较原理，我们推导出具有变号右端项的 Monge-Ampère 方程解的上下界。由此可得，若右端项非正（且并非几乎处处为零），则配备常数边界条件的该方程无解。特别地，由于二维 Navier-Stokes 方程与 Monge-Ampère 方程之间存在联系，有界区域上二维 Navier-Stokes 方程中的压力 $p$ 在 $\Omega$ 内不能满足 $\Delta p \leq 0$，除非 $\Delta p \equiv 0$（在任意固定时刻）。因此，在任意时刻 $t>0$，必存在 $z\in \Omega$ 使得 $\Delta p (z,t) =0$。