偏微分方程的一般不确定性原理

我们考虑耦合方程 \begin{equation*} \begin{pmatrix}r_t\\ -q_t\end{pmatrix}+2A_0(L^+)\begin{pmatrix}r\\ q\end{pmatrix}=0, \end{equation*} 其中 $L^+$ 是积分-微分算子 \begin{equation*} L^+=\frac{1}{2\I}\begin{pmatrix}\partial_x-2r\int_{-\infty}^xdyq& 2r\int_{-\infty}^xdyr\\ -2q\int_{-\infty}^xdyq& -\partial_x+2q\int_{-\infty}^xdyr.\end{pmatrix} \end{equation*} 且 $A_0(z)$ 是任意整函数之比。我们研究两种主要情形：第一种是当势 $|q|,|r|\to 0$（$|x|\to\infty$）时，第二种是当 $r=-1$ 且 $|q|\to0$（$|x|\to\infty$）时。在此条件下，我们证明若在两个不同的时刻势具有强衰减，则不可能存在非零解。该衰减呈指数率：$\exp(-x^{1+\delta})$，$x\geq 0$ 且 $\delta>0$ 为常数。作为特例，我们将涵盖 Korteweg-de Vries 方程、修正 Korteweg-de Vries 方程和非线性 Schr"odinger 方程。