根基积积图的步行行列式通用公式及其在 DGS 图构造中的应用

对于一个 $n$ 顶点的图 $G$，以及以 $v$ 为根的根图 $H^{(v)}$，根积图 $G\circ H^{(v)}$ 是由 $G$ 与 $n$ 个 $H$ 的副本组成的，其中将第 $i$ 个 $H$ 副本的根与 $G$ 的第 $i$ 个顶点进行标识。作为 Shan 和 Liu (2025) 最近得到的 $G\circ H^{(v)}$ 可控性准则的一个细化结果，我们获得了该根积图步行矩阵行列式的显式公式。此外，对于由广义谱唯一确定的重要图族 $\mathcal{F}$，我们引入 $\mathcal{F}$-保护子图的概念，并给出根图为 $\mathcal{F}$-保护子图的充要条件。提供一份小阶 $\mathcal{F}$-保护子图列表，这导致了许多新的 DGS 图的无限族的生成。