由广义 Q-谱确定的图的构造

给定具有 $n$ 个顶点的图 $G$，其邻接矩阵与度对角矩阵分别记为 $A(G)$ 与 $D(G)$。$G$ 的 $Q$-谱由其无符号拉普拉斯矩阵 $Q(G)=A(G)+D(G)$ 的所有特征值（含重数）组成。若对任意图 $H$，$H$ 与 $G$ 具有相同的 $Q$-谱且其补图亦如此，则 $H$ 同构于 $G$，此时称图 $G$ 为由其广义 $Q$-谱确定（简称 $DGQS$）。本文给出一种构造 $DGQS$ 图的方法。更具体地，令矩阵 $W_{Q}(G)=\left [e,Qe,\dots ,Q^{n-1}e \right ]$（$e$ 表示全 1 列向量）为 $G$ 的 $Q$-行走矩阵。研究表明，对某些特定图，当且仅当 $G$ 为 $DGQS$ 时 $G\circ P_{k}$（$k=2,3$）为 $DGQS$。这也提供了一种利用较少顶点的 $DGQS$ 图构造较多顶点 $DGQS$ 图的途径。同时，我们也证明在特定情形下 $G\circ P_{2}$ 仍为 $DGQS$。特别地，基于上述结果，对某些特定的 $DGQS$ 图 $G$，我们得到无穷序列的 $DGQS$ 图 $G\circ P_{k}^{t}$（$k=2,3;t\ge 1$）。