一般 Cayley 对应与高阶 Teichmüller 空间

我们在复单李代数 $\mathfrak{g}$ 中引入一类新的 $\mathfrak{sl}_2$-三元组，称之为魔幻的（magical）。这样的 $\mathfrak{sl}_2$-三元组典范地定义了一个实形式及 $\mathfrak{g}$ 的各种分解。利用该分解数据，我们显式参数化了紧黎曼曲面 $X$ 上对应于一个关联实李群的高斯丛模空间的特殊连通分支，从而也参数化了 $\pi_1X$ 到该关联实李群的表示的特征簇。当实群为分裂型、管型 Hermite 型或 $\mathrm{SO}_{p,q}$（$1<p\leq q$）时，这恢复了已知分支，并且还为 $\mathrm{E}_6$、$\mathrm{E}_7$、$\mathrm{E}_8$ 和 $\mathrm{F}_4$ 的四元数实形式构造了先前未知的分支。我们证明了魔幻 $\mathfrak{sl}_2$-三元组的分类与 Guichard--Wienhard 意义下的 $\Theta$-正结构的集合一一对应，因此上述参数化推测能检测出所有高阶 Teichmüller 空间的例子。事实上，我们讨论了从这些高斯丛分支获得的曲面群表示的性质及其与 $\Theta$-正 Anosov 表示的关系，这表明该猜想成立。