Bryant 对应关系的规范理论化推广

最小 surfaces 理论中的一个经典定理建立了最小 surfaces 在 $\mathbb{R}^n$ 与 null 全纯曲线在 $\mathbb{C}^n$ 之间的对应关系。Bryant 提出了该对应关系的双曲面版本：null 全纯曲线在 ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ 对应于双曲空间 $\mathbb{H}^3$ 中的 CMC-1 surfaces。我们也得到一种相对论性的 Bryant 类型对应关系：CMC-1 嵌入在双曲空间中被空间类 CMC-1 嵌入所取代。我们证明了所有这些结果的相互一般化：设 $H$ 为一个实 Lie 群，$\pi:P \to M$ 为 $H$-bundle，$A$ 为 $P$ 上的一个连接，$\alpha\in A^1_{\rm Ad}(P,\mathfrak{h})$ 为类型 ${\rm Ad}$ 的张量 1 形式，其诱导出同构 $A_\xi \to \mathfrak{h}$。这样的一对 $(\alpha,A)$ 定义了 $P$ 上的准复结构 $J^\alpha_A$，当且仅当 $(\alpha,A)$ 求解一个规范不变的一阶微分系统时，$J^\alpha_A$ 可积。在 $\mathfrak{h}$ 上存在非退化对称 ${\rm Ad}_H$-不变双线性形式 $g$，可定义 $M$、$P$ 上的伪黎曼度量 $g^\alpha_M$、$\mathfrak{g}^\alpha_A$，以及定义在 $T_P\times_P T_P\to \mathbb{C}$ 上的非退化双线性形式 $\omega^{\alpha,g}_A$。当 $J^\alpha_A$ 可积时，$\omega^{\alpha,g}_A$ 为全纯形式。假设满足上述条件，我们得到一种 Bryant 类型对应关系：$Y\to P$ 中的空间类、$\omega^{\alpha,g}_A$-各向同性全纯嵌入与 $Y\to (M,g^\alpha_M)$ 中的空间类保距嵌入之间的对应，其均曲率向量场由一个显式的简单公式给出。特别地，对于任何形式为 $G\to G/H$ 的主束，其中 $G$ 为复 Lie 群，$H$ 为 $G$ 的实型，且 $H$ 上的李代数 $\mathfrak{h}$ 具备非退化、${\rm Ad}_H$-不变、对称双线性形式 $g$，都可得到此类对应关系。