一个有限的 Q-bad 空间

我们证明，对于一个自由非循环群 $F$，$H_2(\hat F_\mathbb Q, \mathbb Q)$ 是一个不可数的 $\mathbb Q$-向量空间。这里 $\hat F_\mathbb Q$ 是 $F$ 的 $\mathbb Q$-完备化。这回答了 A.K. Bousfield 在有理系数情形下的一个问题。作为该结果的直接推论，圆束在 Bousfield-Kan 的意义下是 $\mathbb Q$-bad 的。用于证明上述结果的相同方法可以表明，同调群 $H_2(\hat F_\mathbb Z,\mathbb Z)$ 不是一个可除群，其中 $\hat F_\mathbb Z$ 是 $F$ 的整上幂零完备化。