关于有限普吕费尔秩可解群的 Bousfield 问题

对于一个群 $G$ 和 $R=\mathbb Z,\mathbb Z/p,\mathbb Q$，我们用 $\hat G_R$ 表示 $G$ 的 $R$-完备化。我们研究映射 $H_n(G,K)\to H_n(\hat G_R,K)$，其中 $(R,K)=(\mathbb Z,\mathbb Z/p),(\mathbb Z/p,\mathbb Z/p),(\mathbb Q,\mathbb Q)$。我们证明对于有限生成且具有有限 Prüfer 秩的可解群 $G$，$H_2(G,K)\to H_2(\hat G_R,K)$ 是一个满射。特别地，此类群的 Bousfield $HK$-局部化对于 $K=\mathbb Z/p,\mathbb Q$ 与 $K$-完备化一致。此外，我们证明如果 $G$ 是形如 $G=M\rtimes C$ 的有限呈现群，其中 $C$ 是无限循环群且 $M$ 是一个 $C$-模，则对任意 $n$，$H_n(G,K)\to H_n(\hat G_R,K)$ 是满射。