Hurwitz 空间的多重 delooping

对于部分乘法 quandle（PMQ）$\mathcal{Q}$，我们考虑平面中具局部单值性在 $\mathcal{Q}$ 中的构型的 Hurwitz 空间所构成拓扑幺半群 $\mathring{\mathrm{HM}}(\mathcal{Q})$。我们计算了 $\mathring{\mathrm{HM}}(\mathcal{Q})$ 的群完备化：它是（离散）包络群 $\mathcal{G}(\mathcal{Q})$ 与相对 Hurwitz 空间 $\mathrm{Hur}_+([0,1]^2,\partial[0,1]^2;\mathcal{Q},G)_{1\!\!\,1}$ 的双重环路空间的一个分支之积；此处 $G$ 为任意群，与 $\mathcal{Q}$ 共同构成一个 PMQ-群对。进一步假设 $\mathcal{Q}$ 为有限且有理 Poincare 的，且 $G$ 为有限群，我们计算了 $\mathrm{Hur}_+([0,1]^2,\partial[0,1]^2;\mathcal{Q},G)_{1\!\!\,1}$ 的有理上同调环。