穿孔算术曲线的 étale 上同调环

我们计算上同调环 $H^*(U,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$，其中 $U=X\setminus S$，$X$ 是一个数域 $K$ 的整数环的谱，$S$ 是一个有限素点集合。作为推论，我们获得了计算 $Q_2(G_S)$ 的表示的高效方法，其中 $G_S$ 是 $K$ 在有限素点集 $S$ 外非分歧的极大扩张的伽罗瓦群，适用于变化的 $K$。这包括以下情形（对整除 $n$ 的任意素数 $p$）：$\mu_p(\overline{K}) \not\subseteq K$；$S$ 不包含 $p$ 上方的素点；以及 $p=2$ 且 $K$ 具有实阿基米德位。我们还展示了如何从杯积的分次交换性恢复勒让德符号的经典互反律。