Hasegawa-Mima 波动方程的有限元模型

在近期一项工作中，两位作者将非线性时空 Hasegawa-Mima 等离子体方程表述为一个由两个线性偏微分方程组成的耦合系统，其解为数对 $(u,w)$，其中 $w=(I-\Delta)u$。第一个方程为双曲型，第二个为椭圆型。他们还推导了带周期边界条件的初值 Hasegawa-Mima 问题获取弱解的变分框架。利用空间变量上的傅里叶基，获得了解的存在性。基于傅里叶级数的算法实现会导致稠密矩阵系统。本文中，我们采用有限元空间域方法对耦合变分 Hasegawa-Mima 模型进行半离散化，得到在任意时间区间 $[0,T]$（对所有 T）上 $H^2$ 中解的全局存在性。随后，对半离散系统使用隐式时间格式进行全离散，得到非线性全时空离散系统，其对时间步长无严格限制条件。对一个隐式非线性全离散系统的半线性版本针对若干初始数据进行了测试，评估了我们所提方法的效率。