非线性时间分数阶 Cable 方程的两重网格有限元逼近

本文结合两重网格算法与有限元（FE）方法求解非线性分数阶 Cable 方程。为求解非线性分数阶 Cable 方程，提出了一种时间二阶全离散两重网格有限元格式，其中空间方向由两重网格有限元方法逼近，时间方向的整数阶与分数阶导数分别由二阶两步向后差分方法与二阶加权移位 Grünwald 差分（WSGD）格式进行离散。本文研究的算法主要包含两个步骤：首先，求解粗网格上非线性有限元格式的数值解；其次，基于粗网格上的初始迭代解，利用 Newton 迭代求解细网格上的线性化有限元系统。本文推导了基于全离散两重网格方法的稳定性。此外，详细证明了时间二阶收敛率的先验估计，该结果优于 L1-逼近的 $O(\tau^{2-\alpha}+\tau^{2-\beta})$ 结果。最后，分别计算了使用两重网格方法与有限元方法的数值结果，并比较了 CPU 时间以验证理论结果。