求解时间-空间 Caputo-Riesz 分数阶扩散方程的全有限元自适应代数多重网格法

本文旨在为有界域 $\Omega$ 上的一维时间-空间 Caputo-Riesz 分数阶扩散方程建立全离散有限元（FE）格式并提供高性价比的求解方案。首先，我们在时间和空间方向上构造了线性 FE 方法的全离散格式，导出了系数矩阵的诸多特性，并在数值上验证了全 FE 近似在 $L^2(\Omega)$ 范数下具有饱和误差阶。其次，我们在理论上证明了系数矩阵条件数的估计 $1+\mathcal{O}(\tau^\alpha h^{-2\beta})$，其中 $\tau$ 和 $h$ 分别表示时间和空间步长。最后，基于该估计和快速傅里叶变换，我们开发并分析了一种具有低算法复杂度的自适应代数多重网格（AMG）方法，揭示了用于衡量严重影响 AMG 方法在处理分数阶扩散方程时鲁棒性的连接强度容差参考公式，并展示了所提算法与经典 AMG、共轭梯度和 Jacobi 迭代方法相比所具备的良好鲁棒性和高效率。