高阶有限元偏微分方程解的时间序列展开的稳定化
数值分析
2024-09-04 v1 数值分析
摘要
过去十年间，有限元方法 (FEM) 作为近似偏微分方程 (PDE) 时间序列展开 (TSE) 项的数值框架得到广泛应用。然而，将高阶有限元 (FE) 应用于某些类别的 PDE（如扩散方程和 Navier-Stokes (NS) 方程）常常导致数值不稳定。这些不稳定性限制了级数中有效项的数量，尽管即使采用如 Borel-Padé-Laplace (BPL) 积分器等重求和技术，时间序列积分的效率仍然有限。本研究引入一种新型变分公式，用于计算与给定 PDE 相关的 TSE 项的高阶 FE。我们的做法是在每个级数项对应的方程左侧加入人工扩散项，作为稳定技术。我们演示了该方法可被解释为最小化能量泛函，其中考虑了未知数的总变分。进一步地，我们建立了人工扩散系数遵循递推关系的条件，即可通过最小化相关线性系统的数值条件数来确定。我们强调了该技术与 heat 方程离散最大原理 (DMP) 之间的联系。我们通过数值实验显示，所提出的技术允许获得额外的有效级数项，这在扩大 BPL 积分器的稳定域方面具有重要意义。
引用
@article{arxiv.2407.03339,
title = {Stabilized Time Series Expansions for High-Order Finite Element Solutions of Partial Differential Equations},
author = {Ahmad Deeb and Denys Dutykh},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.03339},
year = {2024}
}