演化域上偏微分方程的等参非拟合 BDF—有限元方法

我们针对移动域上偏微分方程（PDEs），在非拟合有限元方法框架下提出一种新的离散化方法，该方法在空间与时间上均可证明具有高阶精度。在所考虑的设置中，物理域通过独立于时间的计算背景域以本质上任意方式演化，并由水平集函数表示。对于时间离散，基于时间导数有限差分近似的标准时间步进格式无法直接应用，因为自由度在此类时间有限差分模板中可能跨步激活或失效。在 [Lehrenfeld, Olshanskii. An Eulerian finite element method for PDEs in time-dependent domains. ESAIM: M2AN, 53:585--614, 2019] 中，该问题通过在每个时间步将离散解延拓至足够大的邻域得以克服，使得下一时间步相关的所有自由度保持激活。但该文聚焦于低阶方法。我们推进这些结果，引入并分析了可实现的向高阶延拓的技术。为获得空间与时间的高阶收敛，我们将 BDF 时间步进与等参非拟合有限元方法相结合。后者此前已用于并分析了若干定常问题。然而，对于移动域，该方法的关键要素——底层网格的变换——变为时间相关，这引发了一些技术问题。我们细致处理这些问题，进行了先验误差分析与两组数值实验。