演化域中具有拓扑变化的偏微分方程有限元方法分析

本文对在演化域 $\Omega(t)$ 上求解的线性抛物问题的非规整有限元方法进行首次严格的误差分析。该域可能发生拓扑变化，例如域的分割。在临界时间 $t_c$ 处，域的演化被假设为 $C^2$ 光滑的，此处可能发生瞬时拓扑变化。为容纳误差分析中的拓扑转变，我们在临界时间附近对 $\Omega(t)$ 的演化引入若干结构假设。这些假设允许在奇点处进行特定的稳定性估计。基于此稳定结果，我们在连续解足够光滑的前提下，推导出最优阶的离散化误差界。我们通过实例说明了水平集域发生拓扑转变的可行性，并讨论了分析失效的情况。数值实验的结果确认了理论误差估计。