Berezin-Li-Yau 不等式的一种动力学方法

我们发展了一种用于证明尖锐 Berezin-Li-Yau 不等式的动力学方法。该方法基于体积保持的平均曲率流以及关于 Riesz 均值 $R_\Lambda(\Omega_t)$ 的新单调性原理。对于凸域，我们证明 $R_\Lambda$ 沿流单调非递减。关键输入是边界谱密度 $Q_\Lambda$ 与平均曲率 $H$ 之间的几何关联不等式，该不等式在所有维度上均成立：在 $d=2$ 时通过近圆盘的傅里叶分析，在 $d\ge 3$ 时通过边界 Weyl 展开结合球附近的局部谱刚性论证，并以首零点排除原理完成全局步骤。由于流光滑收敛到球，单调性意味着每个光滑凸域的尖锐 Berezin-Li-Yau 上界。作为应用，我们获得了关于特征值平均的尖锐动力学 Cesàro-Pólya 不等式。