除数生成的 $q$ -级数与来自随机图的累积量

1987 年，Uchimura 引入一种随机变量 $X$ 的概率生成函数，并利用该函数的性质发现了有趣的 $q$ -级数恒等式。他进一步指出，关于随机变量 $X$ 的第 $m$ 个累积量不过是广义除数函数 $\sigma_{m-1}(n)$ 的生成函数。1993 年，Simon、Crippa 和 Collenberg 探索了随机无环 digraph 的 $G_{n,p}$ -模型并定义了一个随机变量 $\gamma_n^{*}(1)$。他们 surprisingly 发现，其均值的极限与除数函数 $d(n)$ 的生成函数之间存在联系。1997 年，Andrews、Crippa 和 Simon 使用 $q$ -级数技术扩展了这些结果。他们计算了随机变量 $\gamma_n^{*}(1)$ 的均值和方差的极限，这分别对应于第一和第二累积量。在本文中，我们通过计算第 $t$ 个累积量的极限来推广 Andrews、Crippa 和 Simon 的结果，以广义除数函数表示。Furthermore，我们还发现了 Uchimura 和 Dilcher 恒等式的极限形式。这为最近的前四位作者所阐述的 Uchimura-Ramanujan-除数类型三方分区恒等式提供了第四个角度。