薛定谔势数值重构的离散刘维尔恒等式

我们提出一种离散方法来求解二维薛定谔方程的反问题，其中未知势由 Dirichlet-to-Neumann 映射的边界测量确定。对于吸收势，在连续情形下，已知利用刘维尔恒等式可得到一个逆电导率问题。其离散类比是寻找一个与测量匹配的电阻网络，这一点已得到充分理解。此处我们展示如何使用离散刘维尔恒等式将其解转化为薛定谔问题的解。由离散刘维尔恒等式给出的离散薛定谔势可用于以两种方式重构连续情形下的势。首先，我们可以将离散薛定谔势的值解释为连续薛定谔势在一个特殊灵敏度网格上的平均值，从而获得直接但粗糙的重构。其次，离散薛定谔势可用于重新表述逆薛定谔问题传统的非线性输出最小二乘优化公式。我们不再最小化边界测量失配，而是最小化离散薛定谔势之间的失配。这导致了一个性态更好的优化问题，其在单次高斯-牛顿迭代中收敛，并给出高质量的势重构，如数值结果所示。