一种用于椭圆界面问题的间断捕捉浅层神经网络
数值分析
2023-06-13 v3 机器学习
数值分析
摘要
本文提出了一种新的间断捕捉浅层神经网络(DCSNN),用于逼近维分段连续函数并求解椭圆界面问题。该网络具有三个新颖特征:其一,精确捕捉跳跃间断;其二,完全浅层,仅包含一个隐藏层;其三,求解偏微分方程时完全无网格。其核心思想在于,可将维分段连续函数延拓至维空间中定义的连续函数,其中增广坐标变量标记各子域的分段。随后我们构造浅层神经网络表达此新函数。由于仅使用一个隐藏层,训练参数(权重与偏置)数量随维度及隐藏层所用神经元数线性增长。对于椭圆界面问题,该网络通过最小化由控制方程残差、边界条件及界面跳跃条件构成的均方误差损失进行训练。我们开展了一系列数值实验以验证本网络的精度。由于仅需训练少量参数(所有数值算例中均使用数百个参数),DCSNN模型高效,且结果显示出良好精度。与专为椭圆界面问题设计的传统基于网格的浸入界面法(IIM)结果相比,我们的网络模型精度优于IIM。最后我们通过求解六维问题展示了本网络在高维应用中的能力。
引用
@article{arxiv.2106.05587,
title = {A Discontinuity Capturing Shallow Neural Network for Elliptic Interface Problems},
author = {Wei-Fan Hu and Te-Sheng Lin and Ming-Chih Lai},
journal= {arXiv preprint arXiv:2106.05587},
year = {2023}
}