XI-DeepONet：用于椭圆型界面问题的操作学习方法
数值分析
2024-07-23 v1 数值分析
摘要
科学计算是应用科学和工程中的必不可少的工具，传统数值方法常因其优异精度保证而被采用。然而，这些方法在处理涉及复杂几何形状的问题时常面临挑战。基于机器学习的方法则无网格，因而提供了有前景的替代方案。特别是，操作学习方法被提出用于学习从输入空间到解空间的映射，使其能够在训练后快速推断偏微分方程(PDEs)的解。本文针对参数化椭圆型界面问题进行研究。基于深度运算网络(DeepONet)，我们提出了扩展界面深度运算网络(XI-DeepONet)。XI-DeepONet 具备三个独特特征：(1) 界面几何被作为额外输入纳入神经网络，从而实现对新界面几何的解的推断；(2) 界面几何相关的水平集函数作为输入，解的映射在该输入上是连续的，可被深度运算网络有效近似；(3) 网络可在无需任何输入输出数据对的情况下进行训练，从而完全避免了任何形式的网格，无论是直接还是间接。我们进行了一系列全面数值实验，以展示所提出方法的准确性和鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2407.15043,
title = {XI-DeepONet: An operator learning method for elliptic interface problems},
author = {Ran Bi and Jingrun Chen and Weibing Deng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.15043},
year = {2024}
}