用于线性平流-反应方程的最小二乘神经网络(LSNN)方法：间断界面

我们研究了求解具有间断解的线性平流-反应方程的最小二乘ReLU神经网络(LSNN)方法，见[Cai, Zhiqiang, Jingshuang Chen, and Min Liu. ``Least-squares ReLU neural network (LSNN) method for linear advection-reaction equation.'' Journal of Computational Physics 443 (2021), 110514]。该方法基于最小二乘公式，并使用一类新的近似函数：ReLU神经网络(NN)函数。LSNN方法与其他基于NN的方法不同，其关键且额外的组成部分是引入了一个设计合理且保持物理性质的离散微分算子。在本文中，我们研究了LSNN方法在具有间断界面的问题上的应用。首先，我们证明深度为 $\lceil \log_2(d+1)\rceil+1$ 的ReLU NN函数能够以任意给定精度近似由矢量场作为流线在间断界面上生成的任意 $d$ 维阶跃函数。通过将解分解为连续部分和间断部分，我们在理论上证明了，只要解的跳跃是常数，使用深度为 $\lceil \log_2(d+1)\rceil+1$ 的ReLU NN函数的LSNN方法的离散化误差主要由解的连续部分决定。针对具有各种间断界面的二维和三维测试问题的数值结果表明，具有足够层数的LSNN方法是准确的，并且不会在间断界面处表现出常见的Gibbs现象。