一种用于椭圆界面问题的尖点捕捉物理信息神经网络
数值分析
2023-08-09 v2 机器学习
数值分析
摘要
本文提出一种尖点捕捉物理信息神经网络（PINN），用于求解间断系数椭圆界面问题，其解连续但在界面上的一阶导数间断。为利用神经网络表示求得此类解，我们引入一种尖点增强水平集函数作为网络的附加特征输入，以保留解的内在性质，即尖锐地捕捉解尖点（导数间断处）。此外，所提神经网络具有无网格的优势，因此可轻松处理不规则区域中的问题。我们采用物理信息框架训练网络，其损失函数由微分方程残差及特定的界面与边界条件组成。我们进行了一系列数值实验以证明尖点捕捉技术的有效性及当前网络模型的精度。数值结果表明，即使使用具有中等数量神经元和充足训练数据点的单隐藏层（浅层）网络，该网络模型也能达到与传统方法相当的预测精度。此外，若解在界面处间断，我们可轻松地将一个额外的用于解跳跃逼近的监督学习任务纳入当前网络，并无太大困难。
引用
@article{arxiv.2210.08424,
title = {A cusp-capturing PINN for elliptic interface problems},
author = {Yu-Hau Tseng and Te-Sheng Lin and Wei-Fan Hu and Ming-Chih Lai},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.08424},
year = {2023}
}