Friedlander-Iwaniec 素数自旋的三次类比

1998 年 Friedlander 与 Iwaniec 证明了存在无穷多个形如 $a^2+b^4$ 的素数。为证明此结论，他们通过 Jacobi 符号定义了高斯整数的自旋，而证明中的一个关键要素是证明该自旋沿高斯素数等分布。为推广此结果，我们利用 Eisenstein 整数 $\mathbb{Z}[\zeta_3]$ 上的三次剩余特征，定义 $\mathbb{Z}[\zeta_{12}]=\mathbb{Z}[\zeta_3,i]$ 的理想的三次自旋。我们的主要定理表明，三次自旋沿 $\mathbb{Z}[\zeta_{12}]$ 的素理想等分布。其证明紧密遵循 Friedlander 与 Iwaniec 的思路。我们情形中的主要新特征是无限的单元群，这意味着我们需要证明三次自旋在整数环上的定义可提升为理想上定义良好的函数。我们还解释了若考虑 Eisenstein 整数上形如 $a^2+b^6$ 的素数，三次自旋是如何产生的。