Kalantari 多项式零点界收敛性的构造性证明

在 2006 年的论文中，Jin 证明了 Kalantari 的多项式零点界（由 $m \leq 2$ 索引，分别称为 $L_m$ 和 $U_m$）随着 $m\rightarrow\infty$ 变得精确。也就是说，给定一个在原点不为零的 $n$ 次多项式 $p(z)$ 和一个误差容限 $\epsilon > 0$，Jin 证明存在某个 $m$ 使得 $\frac{L_m}{\rho_{min}} > 1-\epsilon$，其中 $\rho_{min} := \min_{\rho:p(\rho) = 0} \left|\rho\right|$。在本文中，我们推导出一个给出这样一个 $m$ 的公式，从而构造性地证明了 Jin 的定理。事实上，我们证明了更强的定理，即这种收敛在某种意义下是一致收敛的，其速率仅依赖于 $n$ 和少数其他参数。我们还给出了实验结果表明最优的 m 为（渐近地）$O\left(\frac{1}{\epsilon^d}\right)$（对某些 $d \ll 2$）。这些结果的证明将表明 Jin 的方法在 $O\left(\frac{n}{\epsilon^d}\right)$ 时间内运行，使其对于高次多项式零点的隔离是高效的。