一个构造性布朗极限定理

本文给出并证明了关于 $R^m$ 中单位球上调和函数 Hardy 空间 $\mathbf{h}^{p}$ 的布朗运动的边界极限定理，其中 $p\geq1$ 与 $m\geq2$ 任意。我们的证明在 [Bishop and Bridges 1985, Chan 2021, Chan 2022] 的意义下是构造性的。粗略地说，若一个数学证明可被编译为某种计算机代码，并保证在执行时于有限步内退出，则该证明是构造性的。上述边界极限定理的构造性证明见于 [Durret 1984] 中 $p>1$ 的情形。本文中，我们给出 $p=1$ 的构造性证明，进而通过 Lyapunov 不等式推出一般情形 $p\geq1$ 的构造性证明。我们猜想该结果可用于给出 Hardy 空间 $\mathbf{h}^{p}$（$p\geq1$）非切向极限定理的构造性证明。我们注意到，约 1970 年，R. Getoor 在华盛顿大学作了关于布朗极限定理的报告。我们相信他给出的证明仅对 $p>1$ 情形是构造性的，而对 $p=1$ 情形并非如此。但我们未能找到其证明的参考文献。