局部朗兰兹对应的一个同余性质

设 $F$ 为剩余特征为 $p$ 的非阿基米德局部域，$\ell$ 为素数，$\ell \neq p$。我们考虑 $F$ 的韦伊群的不可约 $n$ 维光滑表示与 $\text{\rm GL}_n(F)$ 的不可约尖点表示之间的朗兰兹对应。我们利用先前一篇论文中对该对应的显式描述，以及除此之外完全初等的方法，证明该对应保持模 $\ell$ 同余关系。由此，$\ell$-模对应变得与复对应同样有效。