除法代数与 Weil 群的自对偶表示：一种对比

任何群的不可约自对偶表示分为两类：一类承载对称双线性形式，另一类承载交错双线性形式。Langlands 对应将局部域 $k$ 的 Weil 群的 $n$ 维不可约表示 $\sigma$ 与 $k$ 上指数为 $n$ 的除法代数 $D$ 的可逆元的不可约表示 $\pi$ 相匹配，并将自对偶表示映射为自对偶表示。在本文中，我们利用全局方法研究 Langlands 对应相对于自对偶表示中这一区分的行为。我们特别证明了对于偶数 $n$，$\sigma$ 是辛表示当且仅当 $\pi$ 是正交表示。我们的结果更一般地处理了 $GL_m(B)$ 的情形，其中 $B$ 是 $k$ 上指数为 $r$ 的除法代数，且 $n=mr$。