两个随机矩阵之和的集中不等式与局部律

设 $H=A+UBU^*$，其中 $A$ 和 $B$ 是两个 $N\times N$ 厄米矩阵，$U$ 是一个 Haar 分布的随机酉矩阵，并设 $\mu_H$、$\mu_A$ 和 $\mu_B$ 分别为矩阵 $H$、$A$ 和 $B$ 特征值的经验测度。那么，已知（例如，参见 Pastur-Vasilchuk, CMP, 2000, v.214, pp.249-286）对于大 $N$，测度 $\mu_H$ 接近于测度 $\mu_A$ 和 $\mu_B$ 的自由卷积，其中自由卷积是概率测度上的一个非线性运算。$\mu_H$ 的累积分布函数与其期望的大偏差已由 Chatterjee 在 JFA, 2007, v. 245, pp.379-389 中研究过。在本文中，我们改进了 Chatterjee 的集中不等式，并证明它以 $N$ 的二次速率成立。此外，我们证明了 $H$ 特征值的局部律，表明只要区间宽度为 $(\log N)^{-1/2}$，区间内归一化的特征值个数收敛到 $\mu_A$ 和 $\mu_B$ 自由卷积的密度。