复杂统计系统的全面分类及其熵与分布函数的从头推导

为了在热力学框架内表征强相互作用统计系统——特别是复杂系统——可能有必要引入广义熵 $S_g$。过去已提出了一系列此类熵，主要是为了将重要的经验分布函数纳入最大无知原理。迄今为止，对这些熵的根本起源及其与复杂系统更深层关系的理解仍然有限。本文从第一性原理出发探讨这些问题。我们首先观察到，强相互作用系统通常会违反第4个Khinchin公理（可分离性公理），并探究在假设前三个Khinchin公理（K1-K3）成立且 $S_g=\sum_ig(p_i)$ 的前提下，违反第4个公理的后果。通过简单的标度论证，我们证明在这些要求下，每个统计系统在大尺度极限下都由一对独特的标度指数 $(c,d)$ 唯一表征。这些指数定义了所有相互作用和非相互作用系统的等价类。由此可推导出一个唯一的熵 $S_{c,d}\propto \sum_i \Gamma(d+1, 1- c \ln p_i)$，它涵盖了所有满足K1-K3且可写为 $S_g=\sum_ig(p_i)$ 的熵。已知的熵现在可以在这些等价类内进行分类。相应的分布函数是Lambert-$W$ 指数的特殊形式，包含玻尔兹曼分布、拉伸指数分布和Tsallis分布（幂律分布）作为特例——这些在自然界中广泛存在。据我们所知，这是首次对广义熵的存在性进行从头论证。尽管本文假设 $S_g=\sum_ig(p_i)$，但我们表明更一般的熵形式也可以沿相同思路进行分类。