与分数阶拉普拉斯算子相关的非局部扩散算子的比较研究

本文研究四种非局部扩散算子,包括分数阶拉普拉斯算子、谱分数阶拉普拉斯算子、区域分数阶拉普拉斯算子与近场动力学算子。这些算子代表不同随机过程的无穷小生成元,尤其在有界域上的差异显著。我们提供大量数值实验以理解并比较其差异。我们发现这四种算子在 \alpha \to 2 时退化为经典拉普拉斯算子。这四者的特征值与特征函数各不相同,且谱分数阶拉普拉斯算子的第 k(对 k \in N)个特征值恒大于分数阶拉普拉斯算子与区域分数阶拉普拉斯算子的对应值。对任意 \alpha \in (0, 2),若视界尺寸 \delta 足够大,近场动力学算子可良好逼近分数阶拉普拉斯算子。我们发现近场动力学模型解以 O(\delta^{-\alpha}) 的速率收敛至分数阶拉普拉斯模型解。相反,尽管区域分数阶拉普拉斯算子在 \alpha \to 2 时可近似分数阶拉普拉斯算子,若 \alpha \ll 2 通常给出与分数阶拉普拉斯算子不一致的结果。此外,由数值结果提出若干猜想,或可助于这些算子的数学分析。