随机分析中一类分部积分公式 I

分部积分公式是（有限维）黎曼流形上或 $R^n$ 上路径空间随机分析的基础，由此可推得算子 $d$ 可闭并定义路径空间上的拉普拉斯算子。黎曼流形上一个有用的公式为 $$dP_tf(v)=(1/t)E f(x_t) \int_0^t \langle d\{x_s\}, v_s\rangle ,$$ 其中 $P_t$ 为热半群，$x_t$ 为布朗运动（BM），$v_t$ 为导数流或其条件期望（即阻尼平行移动），$d\{x_s\}$ 为 $x_t$ 的鞅部分。作为一个元定理，这导出了 Clark-Ocone 公式（具有特定被积函数的鞅表示定理）与对数 Sobolev 不等式。经适当解释，后一公式显然是该分部积分公式的特例。此处我们通过马尔可夫性质并借助归纳法表明后一公式蕴含分部积分公式。我们也使用 Bismut 的原始方法，借助带挠率的联络以及自由路径空间上的联络，证明了一个分部积分公式。