局部向量值Bollobás定理的一个刻画

本文旨在给出所谓性质 {\bf L}$_{o,o}$(一种局部向量值Bollobás型定理)的两个刻画。我们称 $(X, Y)$ 具有此性质,若给定 $\eps > 0$ 与算子 $T: X \rightarrow Y$,存在 $\eta = \eta(\eps, T)$ 使得若 $x$ 满足 $\|T(x)\| > 1 - \eta$,则存在 $x_0 \in S_X$ 满足 $x_0 \approx x$ 且 $T$ 本身在 $x_0$ 处达到其范数。这可视为算子的一个强(尽管是局部的)Bollobás定理。我们证明对紧算子而言,对 $(X, Y)$ 具有 {\bf L}$_{o,o}$ 当且仅当对 $(X, \K)$ 关于线性泛函具有该性质。这一次性推广了D. Sain与J. Talponen的某些结果。此外,在一个空间具有严格凸性或Kadec-Klee性质假设下,我们给出了 $(X \pten Y, \K)$ 对线性泛函满足 {\bf L}$_{o,o}$ 的完整刻画。作为推论,我们推广了文献中与投影张量积强可微性相关的某些结果,并证明 $(L_p(\mu) \times L_q(\nu); \K)$ 不可能对双线性型满足 {\bf L}$_{o,o}$。