晶体与量子群在 $q=0$ 处的范畴重构

与 $\mathfrak{g}$ 相关的量子坐标代数 $A_{q}(\mathfrak{g})$ 构成一个 Hopf 代数，其余模恰好是 BGG 范畴 $\mathcal{O}_{\mathfrak{g}}$ 中的 $U_{q}(\mathfrak{g})$ 模。本文研究当 $q=0$ 时是否存在类似结果。我们将晶体基分类为带点集范畴上余单子函子上的余代数，并将晶体的幺半结构编码为双余单子结构。在此过程中，我们证明在带点集范畴中不存在余模等价于晶体基的余代数。随后我们构造了一个 $\mathbb{Z}$ 上的双代数，其基余模等价于晶体，并猜想其与 Lusztig 在 $v = \infty$ 处的量子群有关。