扇形算子的 Birman-Krein-Vishik-Grubb 理论

我们考虑稠定扇形算子 $A_\pm$，其可写为 $A_\pm=\pm iS+V$ 形式，其中 $\mathcal{D}(A_\pm)=\mathcal{D}(S)=\mathcal{D}(V)$，且假设 $S$ 和 $V\geq \varepsilon>0$ 均为对称算子。我们发展了一种类比于给定严格正对称算子自伴延拓的 Birman-Krein-Vishik-Grubb (BKVG) 理论，在此理论中，我们将构造 $A_+$ 的所有极大耗散延拓 $A_D$，并满足性质 $\overline{A_+}\subset A_D\subset A_-^*$。此处，$D$ 是一个从 $\ker(A_-^*)$ 到 $\ker(A_+^*)$ 的辅助算子，用于参数化不同的延拓 $A_D$。此后，我们将给出二次型 $\psi\mapsto\mbox{Re}\langle\psi,A_D\psi\rangle$ 可闭的条件，并证明对应于该闭包的自伴算子 $\widehat{V}$ 是 $V$ 的延拓。我们将展示 $\widehat{V}$ 如何依赖于 $D$，利用经典的自伴延拓 BKVG 理论，这将允许我们根据 $D$ 定义 $A_D$ 实部的偏序关系。文中讨论了其在二阶常微分算子中的应用。