二维薛定谔算子、(2+1)系统与新约化：二维Burgers层次与反问题数据

基于二维薛定谔算子的(2+1)系统理论由S. Manakov、B. Dubrovin、I. Krichever和S. Novikov于1976年开创。Manakov引入的Lax对类比具有形式 $L_t=[L,H]-fL$（“$L,H,f$-三元组”），其中 $L=\partial_x\partial_y+G\partial_y+S$，而 $H,f$ 是某些线性偏微分方程。它们的代数几何解以及因此的完整高阶层次由B. Dubrovin、I. Krichever和S. Novikov构建。对于将 $x,y$ 替换为 $z,\bar{z}$ 的椭圆算子 $L$ 的二维反谱问题理论，由B. Dubrovin、I. Krichever和S. Novikov开创：反谱问题数据取自复“费米曲线”，该曲线由所有Bloch-Floquet本征函数 $L\psi=const$ 组成。后来发现了许多有趣的系统。然而，Manakov仅为验证新方法而提出的第一个系统的具体性质，在超过10年的时间里未被研究，直到1988年B. Konopelchenko发现了它的Bäcklund变换类比。他指出了一种“Burgers型约化”。确实，本文作者最近在非线性演化系统理论（发明了自伴和二维Burgers层次，并找到了反问题数据的相应约化）和重要物理算子的谱理论（“纯磁二维Pauli算子”）中，发现了该系统的非常有趣的扩展、约化和应用。我们根据研究它的作者的名字将此系统称为GKMMN。