二维 Dubrovin-Novikov 型哈密顿算子

微分几何型一阶哈密顿算子由 Dubrovin 和 Novikov 于 1983 年引入，并由 Mokhov 进行了深入研究。在二维情形下，它们由一对相容的平坦度规 $g$ 和 $\tilde g$ 生成，这对度规满足源自斜对称条件和雅可比恒等式的一组附加约束。我们证明了这些约束等价于要求 $\tilde g$ 是 $g$ 的具有零 Nijenhuis 挠率的线性 Killing 张量。这使得我们能够获得 $n\leq 4$ 的分量算子的完整分类（此前已完成 $n=1, 2$ 的情形）。对于二维算子，Darboux 定理不成立：算子可能无法约化为常系数形式。所有有趣的（非常数）例子都对应于平坦束 $g, \tilde g$ 非半单的情形，即仿射量 $\tilde g g^{-1}$ 具有非平凡的 Jordan 块结构。在具有不同特征值的 Jordan 块直和的情形下，我们获得了任意分量数 $n$ 的哈密顿算子的完整分类，揭示了其与基于 $H^*(CP^{n-1})$ 建模的平凡 Frobenius 流形类之间的显著对应关系。