多项式环上素理想上的显式多项式界

设 $I$ 是域上多项式环的理想，$I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$，且每当 $fg\in I$ 且次数 $\leq b$ 时，有 $f\in I$ 或 $g\in I$。当 $b$ 足够大时，可知 $I$ 为素理想。Schmidt-G"ottsch 证明了“足够大”可取为关于 $I$ 的生成元次数的多项式（该多项式的次数依赖于 $n$）。然而 Schmidt-G"ottsch 使用模型论方法证明此结论，并未给出该多项式次数可能多大的任何指示。在本文中，我们得到了关于 $I$ 的生成元次数的多项式的 $b$ 的显式界。我们还给出了用于检测 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 中极大理想的类似界。