有限欧拉乘积与黎曼猜想

我们证明，如果黎曼猜想成立，那么在包含临界带右半部分大部分区域的区域内，黎曼 $\zeta$ 函数可以用其欧拉乘积的短截断很好地近似。反之，如果在该区域内乘积近似良好，则 $\zeta$ 函数在该区域内至多有有限个零点。随后，我们构造了一个具有相同性质的参数化非解析函数族。除了可能在临界线外有有限个零点外，该族中的每个函数都满足黎曼猜想。此外，当参数不太大时，它们拥有与 $\zeta$ 函数大致相同数量的零点，其零点均为单零点且相互“排斥”。这些函数的结构使得其零点的单重性和排斥性原因显而易见，并暗示了一种可能导致 $\zeta$ 函数零点具有相应性质的机制。计算机证据表明，该族函数的零点与 $\zeta$ 函数的零点非常接近（即使对于较小的参数值），我们证明了随着参数增加，它们确实收敛于后者。此外，在 $\zeta$ 函数的零点之间，该族函数的模趋于 $\zeta$ 函数模的两倍。这两个断言均假设黎曼猜想成立。最后，我们讨论了其他 $L$-函数的类比，并展示了它们如何为研究 $L$-函数线性组合的零点分布提供见解。