曲面的Zeta函数与$\mu^*$-Zariski对

曲面的Zariski对是指$\mathbb{C}^3$中的一对复多项式函数，它由$\mathbb{P}^2$中次数为$d$的经典射影曲线Zariski对$f_0(z_1,z_2,z_3)=0$与$f_1(z_1,z_2,z_3)=0$通过向$f_0$与$f_1$同时添加同一形如$z_i^{d+m}$（$m\geq 1$）的项得到，使得对应的$\mathbb{C}^3$仿射曲面——由$g_0:=f_0+z_i^{d+m}$与$g_1:=f_1+z_i^{d+m}$定义——在原点具有孤立奇点，且其Milnor纤维化所关联的单值性的zeta函数相同（因此特别地，$g_0$与$g_1$具有相同的Milnor数）。在本文中，我们证明：若$f_0$与$f_1$关于坐标$(z_1,z_2,z_3)$是“方便的”，且曲线$f_0=0$与$f_1=0$的奇点在某合适的局部坐标下为Newton非退化，则$(g_0,g_1)$是曲面的$\mu^*$-Zariski对，即一种多项式$g_0$与$g_1$具有相同Teissier $\mu^*$-序列但位于$\mu^*$-常数层不同道路连通分支中的曲面Zariski对。为此，我们证明了一个新的通用公式，在适当条件下给出上述类型函数的Milnor数，并证明（在一般情形下）位于$\mu^*$-常数层同一道路连通分支中的两个多项式函数总可由一条“分段复解析道路”连接。