通过 Hankel 行列式恒等式研究高次 Vorob'ev-Yablonski 多项式的零点

在本文中，我们推导出了 Vorob'ev-Yablonski 多项式平方 $\mathcal{Q}_n(x),x\in\mathbb{C}$ 的一种新的 Hankel 行列式表示。这些多项式是构造第二 Painlev\'e 方程 $u_{xx}=xu+2u^3+\alpha$ 有理解的主要成分。作为新恒等式的一个应用，我们通过渐近分析与上述 Hankel 行列式相关的某些（伪）正交多项式集合，研究了当 $n\rightarrow\infty$ 时 $\mathcal{Q}_n(x)$ 的零点分布。我们的方法重现了 Buckingham 和 Miller \cite{BM} 在同一背景下最近获得的结果，后者使用了 PII 方程的 Jimbo-Miwa Lax 表示及其渐近分析。