Jones 多项式的零点

我们研究了纽结 $K$ 的 Jones 多项式 $V_K(t)$ 的零点分布。我们数值计算了所有 $N\leq 10$ 交叉点的素纽结的 Jones 多项式的根，发现零点散布在单位圆 $|t|=1$ 周围，且随着 $N$ 的增加，零点到圆的平均距离趋近于一个非零值。对于 $(m,n)$ 型的环面纽结，我们证明了在 $m$ 或 $n\to \infty$ 的极限下，所有零点均位于单位圆上且具有均匀密度，这一事实得到了我们数值结果的证实。我们还阐明了 Jones 多项式与 Potts 模型之间的联系，并利用该关系推导出了一般 $n$ 下具有 $3n$ 个交叉点的重复链状纽结的 Jones 多项式。我们发现其 Jones 多项式的零点位于以点 $1$、$i$ 和 $-i$ 为中心的三个闭合曲线上。此外，在点 $t_\pm = e^{\pm 2\pi i/3}$ 附近各有一个孤立零点，距离为 $3^{-(n+2)/2}$ 量级。在 $n\to \infty$ 的极限下，推导出了这些闭合曲线的解析表达式。