非对称一维晶体中的 Zak 相位

在本工作中，我们推导了使用傅里叶基计算时一维量子与经典晶体中 Berry 相位（亦称 Zak 相位）的一些解析性质。我们表明 Zak 相位可分为两项：一项是使 Bloch 波在布里渊区内周期化所必需的全局相位，另一项是度量布里渊区内不同傅里叶项相对延迟的内部相位。前者依赖于原胞坐标原点的选取，而后者与之无关，因此可解释为能带本身的内禀属性。我们证明，对于对称晶体该内部相位恒为零，而当这种对称性破缺时它可以取任意值，从而表明它可解释为能带不对称性的度量。由于对称晶体的 Zak 相位完全由全局部分决定，我们证明可借助布里渊区中心与边缘处傅里叶项的宇称轻松计算，因此无需对原胞及整个布里渊区内的模式进行积分。我们给出了分析电子波与经典波（声学或光子）内部相位的数值算例。我们分析了能够呈现不对称性的最弱电子势，以及双狄拉克δ势，在两个例子中均发现内部相位作为对称性控制参数的函数连续变化，但在晶体对称时为零。对于经典波，我们分析了层状材料。尽管 Zak 相位主要在与有限晶体中边缘态存在性的关联中被研究，我们认为内部相位的研究对于理解量子与经典晶体的体性质更具意义。