$Z_2$-配边与 Borsuk-Ulam 定理

本文旨在对给定的整数 $m,\, n\geq 1$，分类带有自由光滑对合 $\tau$ 的闭光滑 $m$-流形 $X$ 的配边类，依据的是 {\it Borsuk-Ulam 性质} 的有效性：即对每一个连续映射 $\phi : X \to R^n$，存在点 $x\in X$ 使得 $\phi (x)=\phi (\tau (x))$。我们将根据给定的自由 $Z_2$-配边类 $\alpha$ 的三种可能情形进行分类：(a) $\alpha$ 的所有代表 $(X , \tau)$ 满足 Borsuk-Ulam 性质；(b) $\alpha$ 存在代表 $(X_ 1, \tau_1)$ 和 $(X_2, \tau_2)$ 使得 $(X_1, \tau_1)$ 满足 Borsuk-Ulam 性质而 $(X_2, \tau_2)$ 不满足；(c) $\alpha$ 没有代表 $(X , \tau)$ 满足 Borsuk-Ulam 性质。