曲面上的自由循环作用与 Borsuk-Ulam 定理

设 $M$ 和 $N$ 为拓扑空间，设 $G$ 为群，设 $\tau \colon\thinspace G \times M \to M$ 为 $G$ 的一个真自由作用。本文中，我们针对从 $M$ 到 $N$ 的映射同伦类定义了一种相对于对 $(G,\tau)$ 的 Borsuk-Ulam 型性质，它推广了从 $n$ 维球面 $\mathbb{S}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的映射的经典对径 Borsuk-Ulam 定理。在 $M$ 为有限道路连通 CW 复形、$G$ 为有限非平凡阿贝尔群、$\tau$ 为真自由胞腔作用，且 $N$ 为 $\mathbb{R}^2$ 或除 $\mathbb{S}^2$ 和 $\mathbb{RP}^2$ 外无边界的紧曲面等情形下，我们给出涉及辫群的一个代数判据，以判定自由同伦类 $\beta \in [M,N]$ 是否具有 Borsuk-Ulam 性质。作为该判据的应用，我们考虑 $M$ 为配备有限循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的自由作用 $\tau$ 的无边界紧曲面之情形。依据 $M$ 关于作用 $\tau$ 的轨道空间 $M_\tau$ 的可定向性、$n$ 模 $4$ 的值，以及一个涉及 $M_\tau$ 的一同调群的特定代数条件，我们能够判定从 $M$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的唯一映射同伦类是否相对于 $(\mathbb{Z}_n,\tau)$ 具有 Borsuk-Ulam 性质。最后，我们给出一些对称群在其上作用的曲面例子，并对这些情形获得了关于目标为 $\mathbb{R}^2$ 的映射之 Borsuk-Ulam 性质的部分结果。