图的 Borsuk–Ulam 性质 II：ℤₙ 作用

对于一个有限群 $H$ 以及连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$，其中 $X$ 配备了一个自由左 $H$-作用 $\tau$，我们提供了一个几何条件——通过由三元组 $(X, Y; \tau)$ 导出的空间交换图——来判断基于基点同伦类 $\alpha \in [X, Y]_0$ 以及自由同伦类 $\alpha \in [X, Y]$ 是否满足 Borsuk–Ulam 性质。此处，一个同伦类 $\alpha$ 被称为满足 Borsuk–Ulam 性质，当且仅当对于其每个代表元 $f \in \alpha$，存在一个 $H$-轨道使得 $f$ 不是单射。我们的几何刻画通过构造从 $X$ 到经典构型空间 $F_{|H|}(Y)$ 的 $H$-等变映射来实现。我们从几何刻画推导出一个代数条件，并证明当 $X$ 和 $Y$ 为弱球面化空间时二者等价。然后我们特化到一维情形，即当 $X$ 为任意连通图、$H$ 为循环群且 $Y$ 为区间、圆或它们的楔和。通过离散莫尔斯理论，我们对刻画中的图-辫群成分进行了有效控制。